Question

【题目】动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为4.

（1）若动圆圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；

（2）在曲线的对称轴上是否存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值？若存在，求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）.（2）存在点，定值为.

【解析】

（1）设，由题意知：，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P的轨迹方程；

（2）假设存在，设，由题意知直线的斜率必不为0，设直线的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得，当时，上式，与无关，为定值.

（1）设，由题意知：.

当点不在轴上时，过做，交于点，则为的中点，

，.

又，

，化简得；

当点在轴上时，易知点与点重合.也满足，

曲线的方程为.

（2）假设存在，满足题意.

设.由题意知直线的斜率必不为0，

设直线的方程为.

由得.，.

，.

，

，

，

.

，

当时，上式，与无关，为定值.

存在点，使过点的直线与曲线的交点满足为定值.