Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论函数在上的单调性；

（2）当时，设为函数图象上任意一点.直线的斜率为，求证：.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析

【解析】

(1)由，分与两类讨论，可求得函数在上的单调区间.
(2)由已知，即证,由于，即证，①设，②构造函数，利用导数研究这两个函数的单调性及函数取值情况，可证结论.

（1）∵，

∴，

当时，，函数在上单调递减；

当时，由，得(舍负)

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

（2）证明：由已知，即证.

∵，

∴即证，

①设，

∴， ∴，

∵，

∴，∴为增函数

∴， ∴为增函数

∴，

∴，

即，即，

∴，即，

②构造函数，

∵，

， ∴，

∴在上为减函数，

∴，∴在上为减函数，∴，

∴，

∴，即成立.

由①②可知， ∴成立.