题目内容
如图，四棱锥P-ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD、CD⊥AD、CD=2AB，PA⊥面ABCD、E为PC中点.
(1)求证：平面PDC⊥平面PAD
(2)求证：BE∥平面PAD
(3)假定PA=AD=CD，求二面角E-BD-C的平面角的正切值.
(1)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC.
∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD.
∵DC
面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.
(2)证明：取PD中点F，连接EF，FA，∴E为PC中点，
∴在△PDC中：EF
DC，∴EF
AB.
∴四边形ABEF为平行四边形，即：BE∥AF.
∵AF
面PAD且BE
面PAD,
∴BE∥平面PAD .
(3)解：连接AC，取AC中点O，连接EO，在△PAC中：EO
PA，
∴EO⊥面ABC，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG.
由三垂线定理知:∠EGO为所求二面角E-BD-C的平面角.
设PA=AD=CD=2a，AB=a,
∴EO=a，连DO并延长交AB于B′，
则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′.
∴OG=
B′G′=BB′sinB′BG′=
BB′·sinABD=
a·
=
a·
.
在△EOG中：tanEGO=
.
故二面角E-BD-C的平面角的正切值为
.
练习册系列答案
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