题目内容

已知双曲线方程 $数学公式$ =1（a＞b＞0），过右焦点F₂且倾斜角为60°的线段F₂M与y轴交于M，与双曲线交于N，已知 $数学公式$ = $数学公式$ ，则该双曲线的离心率为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

C
分析：先求出M的坐标，由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求得N的坐标，把N的坐标代入双曲线方程化简求得离心率 e 的大小．
解答：线段F₂M所在直线的斜率为 tan60°= $\text{[math]}$ ，方程为 y-0= $\text{[math]}$ （x-c），
∴M（0，- $\text{[math]}$ c）．已知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设N （m，n ），则（c， $\text{[math]}$ c）=4（c-m，-n），
∴c=4c-4m， $\text{[math]}$ c=-4n，∴m= $\text{[math]}$ ，n=- $\text{[math]}$ ，∴N（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
把N的坐标代入双曲线方程 $\text{[math]}$ =1 得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =1，
$\text{[math]}$ ，∴9c⁴-28a²c²+16a⁴=0，9e⁴-28e²+16=0，
∵e＞1，∴e²= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴e= $\text{[math]}$ ，
故选 C．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出点N的坐标是解题的关键．