Question

已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．

（1）求；

（2）设，，求函数在上的最大值；

（3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

解：（1），        

，函数的图像关于直线对称，则．

         直线与轴的交点为，，且，

即，且，

解得，．                     

则．                

（2），

    

其图像如图所示．

当时，，根据图像得：

（ⅰ）当时，最大值为；

（ⅱ）当时，最大值为；

（ⅲ）当时，最大值为．  

（3）方法一：，

，，

当时，，

不等式恒成立等价于且恒成立，

由恒成立，得恒成立，

当时，，，

        ，                           

        又当时，由恒成立，得，

因此，实数的取值范围是．            

方法二：（数形结合法）作出函数的图像，其图像为线段（如图），

的图像过点时，或，

要使不等式对恒成立，

必须，   

又当函数有意义时，，

当时，由恒成立，得，

因此，实数的取值范围是．             

方法三：， 的定义域是，

要使恒有意义，必须恒成立，

        ，，即或． ………………①    

        由得，

即对恒成立，

令，的对称轴为，

则有或或

解得．  ………………②

综合①、②，实数的取值范围是．