Question

（2013•日照一模）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f(x)=

x2-x，x∈[0，1) -(0.5)|x-1.5|，x∈[1，2)

若x∈[-4，-2]时，f(x)≥

t

4

-

1

2t

恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

A．[-2，0）∪（0，l）

B．[-2，0）∪[l，+∞）

C．[-2，l]

D．（-∞，-2]∪（0，l]

Answer 1

分析：由x∈[-4，-2]时，f(x)≥

t

4

-

1

2t

恒成立，则

t

4

-

1

2t

不大于x∈[-4，-2]时f（x）的最小值，根据f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f(x)=

x2-x，x∈[0，1) -(0.5)|x-1.5|，x∈[1，2)

，求出x∈[-4，-2]时f（x）的最小值，构造分式不等式，解不等式可得答案．

解答：解：当x∈[0，1）时，f（x）=x²-x∈[-

1

4

，0]
当x∈[1，2）时，f（x）=-（0.5）^|x-1.5|∈[-1，-

2

2

]
∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1
又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），
当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-

1

2

当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-

1

4

若x∈[-4，-2]时，f(x)≥

t

4

-

1

2t

恒成立，
∴

t

4

-

1

2t

≤-

1

4

即

(t+2)(t-1)

4t

≤0
即4t（t+2）（t-1）≤0且t≠0
解得：t∈（-∞，-2]∪（0，l]
故选D

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，分式不等式的解法，高次不等式的解法，是函数、不等式的综合应用，难度较大．