题目内容
在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有A、B、C三道必答题，分值依次为20分、30分、50分．竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分；否则各题得分之和记为必答题总分．已知某选手回答A、B、C三道题正确的概率分别为
、
、
，且回答各题时相互之间没有影响．（Ⅰ）若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率；（Ⅱ）若此选手按A、B、C的顺序答题，求其必答题总分ξ的分布列和数学期望．
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分析：（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥，由概率公式计算可得；（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三题均答对，分别求其概率列表可得分布列，进而可得数学期望．
解答：解：（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，
记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥
又P(D1)=
×
×(1-
)=
，P(D2)=
×(1-
)×
×
=
．
所以P(D)=P(D1+D2)=P(D1)+P(D2)=
+
=
．
所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为
．
（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三题均答对，
则P(ξ=100)=
×
×
=
，同理，P(ξ=80)=(1-
)×
×
=
，
P(ξ=70)=
×(1-
)×
=
，P(ξ=50)=
×
×(1-
)=
，
P(ξ=30)=(1-
)×
×(1-
)=
，P(ξ=0)=
×(1-
)×(1-
)+(1-
)×(1-
)=
，
所以，ξ的分布列为
所以ξ的数学期望Eξ=100×
+80×
+70×
+50×
+30×
=
记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥
又P(D1)=
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| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| ||
|
| 1 |
| 36 |
所以P(D)=P(D1+D2)=P(D1)+P(D2)=
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 36 |
| 11 |
| 72 |
所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为
| 11 |
| 72 |
（Ⅱ）ξ可能的取值是100，80，70，50，30，0．ξ=100表示A，B，C三题均答对，
则P(ξ=100)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 24 |
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| 4 |
| 1 |
| 24 |
P(ξ=70)=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
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| 1 |
| 3 |
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| 1 |
| 8 |
P(ξ=30)=(1-
| 1 |
| 2 |
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| 3 |
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| 1 |
| 8 |
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| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
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| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 12 |
所以，ξ的分布列为
| ξ | 100 | 80 | 70 | 50 | 30 | 0 | ||||||||||||
| P |
|
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| 24 |
| 1 |
| 24 |
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| 1 |
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| 70 |
| 3 |
点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，涉及数学期望的求解，属中档题．
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