题目内容

如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

证明：设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，

∵BC边的中点为M，
∴由四边形法则得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ²+ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |•cos∠BAC
= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²+ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²+ $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |• $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ AB²+ $\text{[math]}$ AC²+ $\text{[math]}$ （AB²+AC²-BC²）．
∴AM²= $\text{[math]}$ AB²+ $\text{[math]}$ AC²- $\text{[math]}$ BC²．
又∵BC²=4BM²，
∴AB²+AC²=2（AM²+BM²）．
分析：根据题意和向量加法的四边形法则列出向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，利用数量积 $\text{[math]}$ 和余弦定理把向量转化为三角形中边之间的关系．
点评：本题考查了向量在几何中的应用，主要根据题意和图形构造向量，利用向量的运算进行求解或证明，常用知识点是：利用数量积运算实现向量和实数之间的转化．