Question

如图，△ABC的BC边的中点为M，利用向量证明：AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

Answer 1

分析：根据题意和向量加法的四边形法则列出向量

AM

、

AB

和

AC

的关系，利用数量积|a|2=

a

•

a

和余弦定理把向量转化为三角形中边之间的关系．

解答：证明：设

AM

=

m

，

AB

=

b

，

AC

=

c

，
∵BC边的中点为M，
∴由四边形法则得

m

=

b + c

2

，
∴

m

•

m

=

b + c

2

•

b + c

2

=

1

4

b

•

b

+

1

2

b

•

c

+

1

4

c

²
=

1

4

AB

²+

1

4

AC

²+

1

2

|

AB

|•|

AC

|•cos∠BAC
=

1

4

|

AB

|²+

1

4

|

AC

|²+

1

2

|

AB

|•|

AC

|•

AB2+AC2-BC2

2AB•AC

=

1

4

AB²+

1

4

AC²+

1

4

（AB²+AC²-BC²）．
∴AM²=

1

2

AB²+

1

2

AC²-

1

4

BC²．
又∵BC²=4BM²，
∴AB²+AC²=2（AM²+BM²）．

点评：本题考查了向量在几何中的应用，主要根据题意和图形构造向量，利用向量的运算进行求解或证明，常用知识点是：利用数量积运算实现向量和实数之间的转化．