题目内容

设向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，若 $数学公式$
求：（1）f（x）的单调递增区间
（2）若 $数学公式$ ，且f（θ）=1，求 $数学公式$ 的值．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =cosx（2 $\text{[math]}$ +sinx）+sinx（2 $\text{[math]}$ -cosx）
=2 $\text{[math]}$ cosx+cosxsinx+2 $\text{[math]}$ sinx-sinxcosx
=2 $\text{[math]}$ （cosx+sinx）
∴ $\text{[math]}$ ，
∴x+ $\text{[math]}$ ∈[2kπ- $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ]
∴单调增区间为 $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
∴f（θ）=4sin（θ+ $\text{[math]}$ ）=1
∴sin（θ+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴sin（ $\text{[math]}$ ）=sin[（ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]=sin（ $\text{[math]}$ ）cos $\text{[math]}$ +sin（ $\text{[math]}$ ）sin $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据所给的向量的坐标和数量积公式，整理出关于x的关系式，利用辅角公式把三角函数式变化成最简单形式，应用正弦函数的单调性求出函数的单调性．
（2）根据所给的等式，得到角的关系式，根据角的范围利用同角的三角函数关系，得到要用的角的三角函数值，把要求的角的三角函数变化，假期哦的变化时本题的重点．
点评：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值．在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的．有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．