Question

1．在△ABC中，已知2csinC=（sinA+sinB）（a-b），求C角的最大值．

Answer 1

分析 由正弦定理将已知条件转化成：2c²=a²-b²，根据余弦定理求出cosC═$\frac{{a}^{2}+3{b}^{2}}{4ab}$，由基本不等式的关系，求得cosC的取值范围，再根据余弦函数图象求得C的最大值．

解答 解：由正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
2csinC=（sinA+sinB）（a-b），
即：2c²=a²-b²，
由余弦定理可知：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
=$\frac{{a}^{2}+3{b}^{2}}{4ab}$≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当且仅当a=$\sqrt{3}$b，成立，
由余弦函数图象可知，0＜C＜π，
C角的最大值为$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考察正余弦定理与基本不等式相结合，属于中档题．