Question

如图，设抛物线的焦点为，动点在直线上
运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点．
（1）求△APB的重心G的轨迹方程．
（2）证明∠PFA=∠PFB．

Answer 1

（1）；（2）见解析.

本试题主要考查了轨迹方程的求解和证明角的相等问题。
解：（1）设切点，坐标分别为和，
切线的方程为：；切线的方程为：；
由于既在又在上，所以 解得， 
所以的重心的坐标为，
，
所以，由点在直线上运动，从而得到重心的轨迹方程为：
，即．
（2）方法1：因为，，．
由于点在抛物线外，则．
，
同理有，
．
方法2：①当时，由于，不妨设，则，所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：；而直线的方程：，
即．所以P点到直线BF的距离为： 所以，即得．
②当时，直线AF的方程：，即，
直线的方程：，即，
所以P点到直线AF的距离为：
，
同理可得到P点到直线BF的距离，因此由，可得到．