Question

【题目】已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意，都有且当时，.

（1）求证：是偶函数；

（2）求证：在上是增函数；

（3）试比较与的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据题意和式子的特点，先令x1＝x2＝1求出f（1）＝0，令x1＝x2＝﹣1，求出f（﹣1）＝0，再令x1＝﹣1，x2＝x求出f（﹣x）＝f（x），则证出此函数为偶函数；

（2）先任取x2＞x1＞0，再代入所给的式子进行作差变形，利用x2和且0，判断符号并得出结论；

（3）利用奇偶性与单调性比较大小即可.

解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2），

令x1＝x2＝1，代入上式解得f（1）＝0，

令x1＝x2＝﹣1，代入上式解得f（﹣1）＝0，

令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），

∴f（x）是偶函数；

（2）设x2＞x1＞0，则

∵x2＞x1＞0，∴，∴0，

即f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；

（3）∵f（x）是偶函数，∴，

又f（x）在（0，+∞）上是增函数，且，

∴，

即.