Question

已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点.
(1)求直线的斜率；
(2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.

Answer 1

(1)
(2) 显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.,那么设出点M的坐标，结合向量的坐标关系来证明。

试题分析：解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有.
从而椭圆的方程可化为: 
①  知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:. ②由①,②有:.                                        
③设,弦的中点,由③及韦达定理有:
 
所以,即为所求.                       5分
(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:
,故.   7分
又因为点在椭圆上,所以有整理可得:
.       ④
由③有:.所以
   ⑤又点在椭圆上,故有 .      
⑥将⑤,⑥代入④可得:.                 11分
所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.
所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点 ,总存在,使得等式成立.         13分
点评：解决的关键是根据椭圆的性质以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。