Question

如图所示，已知动直线经过点P(4，0)交抛物线于A、B两点．

(1)以AP为直径作圆C，当圆心C到抛物线的准线的距离为多少时，圆的面积为7?

(2)是否存在垂直于轴的直线被以AP为直径的圆截得的弦长为定值?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：(1)设A₁()，P(4，0)．∴，

    ∴，从而|PA|=．

    即．

    解得或 (舍去)，A点的横坐标为6．

    ∴C点的横坐标为．

    此时圆心C到准线的距离是6．

    ∴当圆心C到准线的距离是6时，圆C的面积为．

(2)假设存在直线：满足题意，设交圆C于D，E两点，DE的中点为H，

设A()，|DC|=|AP|=，

    而C()．

    ∴|CH|=

    |DH| ²=|CD|²－|CH|²

        =

        =．

    ∴当=3时，|DH|²是与无关的常数．

    故存在直线=3被以AP为直径的动圆截得的弦长为定值．