Question

【题目】已知函数，其中是自然对数的底数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）设，求函数的单调区间；

（3）设，求证：当时，函数恰有2个不同零点.

Answer 1

【答案】（1）（2）单调增区间为和；单调减区间为和.（3）证明见解析

【解析】

（1）由，得，所以，即可求得答案；

（2），根据导数，分别讨论和函数的单调性，即可求得函数的单调区间；

（3）因为，设，得，令，当，，结合已知和零点定义，即可求得答案.

（1）由，得，

，

曲线在处的切线方程为.

（2），

当时，，

函数的单调增区间为.

当时，，

，

令，得；

令，得或，

函数的单调增区间为；单调减区间为和.

综上所述，函数的单调增区间为和；

函数的单调减区间为和.

（3）由题意知，，

得，

令，

当时，，

在上单调递增，

又，，

存在唯一的，使得，

当时，，

在上单调递减，

当时，，

在上单调递增，

故是的唯一极值点，

令，

当时，，

在上单调递减，

即当时，，即，

，

又，

函数在上有唯一的零点，

又在上有唯一的零点，

函数恰有2个不同零点.