题目内容

椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意的点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2
3
，则△PF1F2的周长是（　　）
A、2（
2
+
3
）
B、
2
+2
3
C、
2
+
3
D、4+2
3
分析：依题意，作图分析可知，a=
3
，从而知b=1，c=
2
，于是可求得△PF1F2的周长．
解答：解：依题意，椭圆C：
x2
a2
+y2=1（a＞0）的焦点在x轴，作图如下：
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∵点M、N分别为PF1，PF2的中点，
∴|OM|=
1
2
|PF2|，|ON|=
1
2
|PF1|，
又四边形OMPN的周长为2
3
，
∴2（
1
2
|PF2|+
1
2
|PF1|）=|PF2|+|PF1|=2
3
，
即2a=2
3
，
∴a=
3
，又b=1，
∴c=
2
，即|F1F2|=2c=2
2
，
∴△PF1F2的周长l=|PF2|+|PF1|+|F1F2|
=2
3
+2
2

=2（
2
+
3
）．
故选：A．
点评：本题考查椭圆的简单几何性质，着重考查椭圆的定义及三角形的中位线定理，求得a=
3
是关键，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
一条斜率为1的直线l与离心率e=
2
2
的椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q两点，直线l与y轴交于点R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直线l和椭圆C的方程．
直角坐标系xoy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A1，A2，上、下顶点为B2，B1，点P（
3
5
a，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A2B2，直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．
如图，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的离心率为
3
2
，过椭圆C上一点P（2，1）作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于点A、B，直线AB与x轴交于点M，与y轴负半轴交于点N．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直线AB的方程．
如图所示，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率e=
2
2
，左焦点为F1（-1，0），右焦点为F2（1，0），短轴两个端点为A、B．与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标．
（3）当弦MN的中点P落在△MF1F2内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右顶点的坐标分别为A（-2，0），B（2，0），离心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）设椭圆的两焦点分别为F1，F2，若直线l：y=k（x-1）（k≠0）与椭圆交于M、N两点，证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上．

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