Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3） 求证：当时，恒成立.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）求出函数的导函数，得到切线斜率，利用点斜式得到切线方程；

（2）解不等式即可得到函数的单调区间；

（3）要证恒成立，即证恒成立.分别求左侧函数与右侧函数的最小值与最大值即可.

（1）解：∵，，

∴.

∴.又∵，

∴，即.

∴函数在点处的切线方程为.

（2）解：函数的定义域为.

，

当时，；当时，.

∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（3）证明：由，得，

∴要证恒成立，即证恒成立.

令，，.

∵，

∴当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

∴.

又∵，

∴当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

∴.

∴恒成立.

∴当时，恒成立.