Question

【题目】对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．

（）设函数，求集合和．

（）求证：．

（）设函数，且，求证：．

Answer 1

【答案】（），；（）证明见解析；（证明见解析．

【解析】

（）由，解得，；由，解得，，；（）若，则成立；若，设为中任意一个元素，则有，可得，故，从而可得结果；（）①当时，的图象在轴的上方，可得对于，恒成立，则．②当时，的图象在轴的下方，可得对于任意，恒成立，则．

（）由，

得，

解得，

由，得，

解得，

∴，．

（）若，

则成立，

若，

设为中任意一个元素，

则有，

∴，

故，

∴．

（）由，得方程无实数解，

∴．

①当时，的图象在轴的上方，

所以任意，恒成立，

即对于任意，恒成立，

对于，则有成立，

∴对于，恒成立，

则．

②当时，的图象在轴的下方，

所以任意，恒成立，

即对于，恒成立，

对于实数，则有成立，

所以对于任意，恒成立，

则，

综上知，对于，

当时，．