Question

已知函数y=2sin（π-x）cosx+cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）将f（x）解析式的第一项第一个因式利用诱导公式化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，进而由两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期；
（2）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，即可确定出f（x）的值域，得到其最大值与最小值．

解答：解：（1）f（x）=2sin（π-x）cosx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴-1≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
则f（x）的最大值为

2

，最小值为-1．

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，正弦函数的定义域与值域，以及周期公式，熟练掌握公式是解本题的关键．