题目内容

已知函数y=
2
sin(2x+
π
4
)+2，求
（1）函数的最小正周期是多少？
（2）函数的单调增区间是什么？
（3）函数的图象可由函数y=
2
sin2x(x∈R)的图象如何变换而得到？
分析：（1）直接由y=Asin（ωx+Φ）（ω＞0）型函数的周期公式求函数y=
2
sin(2x+
π
4
)+2的周期；
（2）给出的函数是复合函数，内层一次函数是增函数，要求该复合函数的增区间，直接由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ，k∈Z解出x的取值范围即可；
（3）把给出的函数变形为y=
2
sin(2x+
π
4
)+2=
2
sin2(x+
π
8
)+2，根据自变量x的变化和函数值的变化即可得到正确结论．
解答：解：（1）由函数y=
2
sin(2x+
π
4
)+2，所以，其最小正周期T=
2π
2
=π．
（2）由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，得：kπ-
3π
8
≤x≤kπ+
π
8
，k∈Z．
所以，函数y=
2
sin(2x+
π
4
)+2的单调增区间为[kπ-
3π
8
，kπ+
π
8
]，k∈Z．
（3）由y=
2
sin(2x+
π
4
)+2=
2
sin2(x+
π
8
)+2可知，把函数y=
2
sin2x(x∈R)的图象先向左平移
π
8
个单位，再向上平移2个单位得到函数y=
2
sin(2x+
π
4
)+2的图象．
点评：本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了与三角函数有关的复合函数的单调性，注意掌握“同增异减”的原则，考查了三角函数的图象变换问题，该类问题极易出错，正确解答的关键是看变量x的变化．此题是中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0））在区间[0，2π]的图象如图：那么ω=（　　）
A、1
B、2
C、
1
2
D、
1
3
已知函数y=2sin（wx+θ）为偶函数，其图象与直线y=2某两个交点的横坐标分别为x1，x2，若|x2-x1|的最小值为π，则该函数在区间（　　）上是增函数．
A、(-
π
2
，-
π
4
)
B、(-
π
4
，
π
4
)
C、(0，
π
2
)
D、(
π
4
，
3π
4
)
已知函数y=2sinωx（ω＞0）在[-
π
3
，
π
4
]上单调递增，则实数ω的取值范围为（　　）
下列4个命题：
①已知函数y=2sin（x+?）（0＜?＜π）的图象如图所示，则φ=
π
6
或
5
6
π；
②在△ABC中，∠A＞∠B是sinA＞sinB的充要条件；
③定义域为R的奇函数f（x）满足f（1+x）=-f（x），则f（x）的图象关于点(
1
2
，0)对称；
④对于函数f（x）=x2+mx+n，若f（a）＞0，f（b）＞0，则f（x）在（a，b）内至多有一个零点；其中正确命题序号
②
②
．

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