Question

已知椭圆（a＞b＞0）的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），且与直线l：x-y-1=0交于A，B两点．
（1）若右顶点到直线l的距离等于，求椭圆方程．
（2）设△AF₁F₂的重心为M，△BF₁F₂的重心为N，若原点O在以MN为直径的圆内，求a²的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于列式求出a的值，结合已知和b²=a²-c²求出b²，则椭圆的方程可求；
（2）因为A，B在直线l：x-y-1=0上，所以设A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），把直线方程和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和与积，由重心坐标公式求出M和N的坐标，利用原点O在以MN为直径的圆内得到，代入根与系数的关系后可求得a²的取值范围．
解答：解：（1）由椭圆右顶点到直线l的距离等于，得
，解得a=2，由c=1，所以b²=a²-c²=3．
所以椭圆的方程为；
（2）由题意设A（x₁，x₁-1），B（x₂，x₂-1），
由，得（2a²-1）x²-2a²x+2a²-a⁴=0

∵直线AB：x-y-1=0过焦点F₂（1，0），
∴△AF₁F₂的重心M（），
△BF₁F₂的重心N（），
因为原点O在以MN为直径的圆内，
所以=
=，
解得，．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把原点O在以MN为直径的圆内转化为，进一步运用根与系数的关系求解，是有一定难度题目．