Question

【题目】已知函数.

（1）求函数在点处的切线方程；

（2）若存在，对任意，使得恒成立，求实数的取值范围；

（3）已知函数区间上的最小值为1，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）；(2) ；(3) .

【解析】

(1)对函数求导得到，代入点（1，1）可得到方程；（2）设函数，存在，对任意恒成立，即在上存在最小值，对函数求导则只需要函数在上不单调即可；（3），，存在唯一的，使得，即 （*），=，可根据不等式得到最值，进而求得a值.

（1） ，则函数在点处的切线方程为；

(2)设函数，存在，对任意恒成立，即在上存在最小值，

=，，

当时，恒成立，在上单调递增，无最小值；

当时，，在上单调递减，，在上单调递增，时，有最小值满足题意，实数的取值范围是；

（3），，

在区间上单调递增，在区间上单调递减，存在唯一的，使得，即 （*），

函数在上单调递增，，单调递减；，单调递增，，由式得，

=

,

（当且仅当时），由得,此时，把代入（*）也成立，

∴实数的值为.