Question

设函数.

（1）若，且，求的值；

（2）若，记函数在上的最大值为，最小值为，求时的的取值范围；

（3）判断是否存在大于１的实数，使得对任意，都有满足等式：，且满足该等式的常数的取值唯一？若存在，求出所有符合条件的的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）;(2)；（3）.

【解析】

试题分析：（1）代入求解即可；（2）讨论二次函数的对称轴与区间的关系取得最大值与最小值，再解关于的不等式即可；（3）将问题转化为集合间的包含关系，利用唯一性求解.

解题思路:当二次函数的系数含有字母时，求其值域要分类讨论，讨论它的开口方向、对称轴与给定区间的关系.

试题解析：（1），，解得；

若，则的开口向上，对称轴方程为；

当，即时，在单调递增，则，即（舍）；

当，即时，在单调递减，则，即（舍）；

当，即时，在单调递减，在单调递增，

则，即，解得，即；

当，即时，在单调递减，在单调递增，

则，即，解得，即；

综上所述，；

由，得，由题意，得，

即，即，即，因为满足该等式的常数的取值唯一，所以，解得.

考点：1.对数的运算；2.二次函数的值域；3.分类讨论思想.