Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，BC⊥CF，AD=

3

，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面DCE；
（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°．

Answer 1

分析：（I）由已知中在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=

3

，BE=3，由勾股定理，我们易得EF⊥CE，由矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，可得DC⊥平面EFCB，则DC⊥EF，进而由线面垂直的判定定理得到答案．
（II）方法一（几何法）过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH，由三垂线定理及二面角的平面角的定义，易得∠AHB为二面角A-EF-C的平面角，解Rt△CEF，即可求出二面角A-EF-C的大小为60°时，AB的长．
方法二（向量法）以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，设AB=a，分别求出平面AEF的法向量和平面EFCB的法向量，代入向量夹角公式，由二面角A-EF-C的大小为60°，构造关于a的方程，解方程求出a值．

解答：证明：（Ⅰ）在△BCE中，BC⊥CF，BC=AD=

3

，BE=3，∴EC=2

3

，
∵在△FCE中，CF²=EF²+CE²，∴EF⊥CE（3分）由已知条件知，DC⊥平面EFCB，
∴DC⊥EF，又DC与EC相交于C，（5分）∴EF⊥平面DCE（6分）
解：（Ⅱ）
方法一：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连接AH．
由平面ABCD⊥平面BEFC，平面ABCD∩平面BEFC=BC，
AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC，从而AH⊥EF．
所以∠AHB为二面角A-EF-C的平面角．（8分）
在Rt△CEF中，因为EF=2，CF=4．EC=2

3

∴∠CEF=90°，由CE∥BH，得∠BHE=90°，又在Rt△BHE中，BE=3，
∴BH=BE•sin∠BEH=

3 3

2

（10分）
由二面角A-EF-C的平面角∠AHB=60°，在Rt△AHB中，解得AB=BH•tan∠AHB=

9

2

，
所以当AB=

9

2

时，二面角A-EF-C的大小为60°（13分）
方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系C-xyz．（7分）
设AB=a（a＞0），则C（0，0，0），A（

3

，0，a），B（

3

，0，0），E（

3

，3，0），F（0，4，0）．
从而

EF

=(-

3

，1，0)，

AE

=(0，3，-a)，（9分）
设平面AEF的法向量为

n

=(x，y，z)，由

EF

•

n

=0，

AE

•

n

=0得，

- 3 x+y=0 3y-az=0

，取x=1，
则y=

3

，z=

3 3

a

，即

n

=(1，

3

，

3 3

a

)，（11分）
不妨设平面EFCB的法向量为

BA

=(0，0，a)，
由条件，得|cos＜

n

，

BA

＞|=|

n • BA

| n || BA |

|=

3 3 a

a 4a2+27

=

1

2

解得a=

9

2

．所以当AB=

9

2

时，二面角A-EF-C的大小为60°．（13分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．