Question

如图2-2-9,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB=BC,D,E分别为BB₁、AC₁的中点.

图2-2-9

(1)证明ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线;

(2)设AA₁=AC=AB,求二面角A_1-AD-C₁的大小.

Answer 1

(1)证明:设O为AC中点,连结EO,BO,则EOC₁C,又C₁CB₁B,所以EODB,EOBD为平行四边形,ED∥OB.

∵AB=BC,∴BO⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁,BO面ABC,故BO⊥平面ACC₁A₁,

∴ED⊥平面ACC₁A₁,ED⊥AC₁,ED⊥CC₁.

∴ED⊥BB₁,ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线.

 (2)连结A₁E,由AA₁=AC=AB可知,A₁ACC₁为正方形,

∴A₁E⊥AC₁.又由ED⊥平面ACC₁A₁和ED平面ADC₁,知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁,∴A₁E⊥平面ADC₁.作EF⊥AD,垂足为F,连结A₁F,则A₁F⊥AD,∠A₁FE为二面角A_1-AD-C₁的平面角.

不妨设AA₁=2,则AC=2,AB=ED=OB=1,EF=,

tan∠A₁FE=,∴∠A₁FE=60°.

所以二面角A_1-AD-C₁为60°.