Question

如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD₁上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为

2π

9

．

Answer 1

分析：先推导点P的轨迹，从而确定点P与平行六面体所围成的几何体的形状，然后求几何体的体积

解答：解：取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD
以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD₁所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系
设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（

x

2

，

y

2

，

z

2

）
MN=

x2+y2+z2

=2
∴x²+y²+z²=4
∴

x2

4

+

y2

4

+

z2

4

=(

x

2

)2+(

y

2

)2+(

z

2

)2=1
∴OP²=1
即OP=1
∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分
又∵∠BAD=60°
∴∠ADC=120°
∴点P的轨迹是球的

1

6

∴几何体的体积为V=

1

6

× 

4

3

π×13=

2π

9

故答案为：

2π

9

点评：本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可．属中档题