Question

已知点 M（-2，0）,N（2，0），动点 P满足条件|PM |-|PN|=，记动点P的轨迹为 W.

（1）求 W的方程；

（2）若 A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值.

Answer 1

思路分析：本题考查圆锥曲线方程的解法及最值问题的解决.记住一些有用的解题的小结论、小技巧，也许对提高解题的速度是有较大的帮助的.

解：（1）由|PM|-|PN|=知,动点P的轨迹是以为M、N焦点的双曲线的右支，实半轴长a=.

又半焦距c=2，故虚半轴b=.

所以W的方程为=1,x≥.

（2）设 A，B的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),

当AB⊥x轴时,x₁=x₂,从而y₁=y₂,从而=x₁x₂+y₁y₂=x₁²-y₁²=2.

当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,与W的方程联立,消去y得(1-k²)x²-2kmx-m²-2=0.

故x₁+x₂=,x₁x₂=.

所以=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)

=(1+k²)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²=+m²=.

又因为x₁x₂＞0,所以k²-1＞0,从而＞2

综上,当AB⊥x轴时,取得最小值2.