题目内容

如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn，n∈N*)是曲线C：y2=3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai，0)(i=1，2，3，…，n)在x轴的正半轴上，△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)，
(1)求a1，a2，a3；
(2)求出点An(an，0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式；
(3)设，若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-mt+＞bn恒成立，求实数t的取值范围。

解：(1)a1=2，a2=6，a3=12；
(2)依题意An(an，0)，，
则，
在正三角形中，有，
∴，
∴，
∴，①
同理可得，②
②-①并变形得，
，
∴，
∴，
∴数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项，公差为2的等差数列，
∴，
∴
，
∴。
(3)，
∴，
∴

，
∵当n∈N*时，上式恒为负值，
∴当n∈N*时，bn+1＜bn，
∴数列{bn}是递减数列，
∴bn的最大值为，
若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式恒成立，
则不等式在m∈[-1，1]时恒成立，
即不等式t2-2mt＞0在m∈[-1，1]时恒成立，
设f(m)=t2-2mt，则f(1)＞0且f(-1)＞0，
∴，解之，得t＜-2或t＞2，
即t的取值范围是(-∞，-2)∪(2，+∞)。

练习册系列答案
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如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn）是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
（Ⅰ）求出a1，a2，a3，并猜想an关于n的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
1
6
＞bn恒成立，求实数t的取值范围．
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如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn） 是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
（1）求a1、a2、a3的值；
（2）求出点An（an，0）（n∈N+）的横坐标an和点An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）横坐标an-1的关系式；
（3）根据（1）的结论猜想an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
（2012•闸北区二模）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线C：y2=
1
2
x(y≥0)上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．
（1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
（2）猜测并证明数列{an}的通项公式；
（3）设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
，集合B={b1，b2，b3，…，bn，…}，A={x|x2-2ax+a2-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．
（2012•闸北区二模）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线C：y2=
1
2
x(y≥0)上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．
（1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
（2）求证：an=
n(n+1)
2
（n∈N*）；
（3）设bn=
1
an+1
+
1
an+2
+
1
an+3
+…+
1
a2n
，对所有n∈N*，bn＜log8t恒成立，求实数t的取值范围．

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