题目内容
如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(0＜y1＜y2＜…＜yn，n∈N*)是曲线C：y2=3x(y≥0)上的n个点，点Ai(ai，0)(i=1，2，3，…，n)在x轴的正半轴上，△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点)，
(1)求a1，a2，a3；
(2)求出点An(an，0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式；
(3)设
，若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-mt+
＞bn恒成立，求实数t的取值范围。
(1)求a1，a2，a3；
(2)求出点An(an，0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式；
(3)设
，若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-mt+＞bn恒成立，求实数t的取值范围。
解：(1)a1=2，a2=6，a3=12；
(2)依题意An(an，0)，
，
则
，
在正三角形
中，有
，
∴
，
∴
，
∴
，①
同理可得
，②
②-①并变形得
，
，
∴
，
∴
，
∴数列{an+1-an}是以a2-a1=4为首项，公差为2的等差数列，
∴
，
∴
，
∴
。
(3)
，
∴
，
∴
，
∵当n∈N*时，上式恒为负值，
∴当n∈N*时，bn+1＜bn，
∴数列{bn}是递减数列，
∴bn的最大值为
，
若对任意正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式
恒成立，
则不等式
在m∈[-1，1]时恒成立，
即不等式t2-2mt＞0在m∈[-1，1]时恒成立，
设f(m)=t2-2mt，则f(1)＞0且f(-1)＞0，
∴
，解之，得t＜-2或t＞2，
即t的取值范围是(-∞，-2)∪(2，+∞)。
练习册系列答案
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（2012•闸北区二模）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线
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