Question

（2012•闸北区二模）如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲线C：y2=

1

2

x(y≥0)上的点，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x轴正半轴上的点，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点）．
（1）写出a_n-1、a_n和x_n之间的等量关系，以及a_n-1、a_n和y_n之间的等量关系；
（2）求证：an=

n(n+1)

2

（n∈N^*）；
（3）设bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，对所有n∈N^*，b_n＜log₈t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点），从而可得结论；
（2）利用数学归纳法证明，关键是第二步：当n=k+1时，由归纳假设及(ak-ak-1)2=ak-1+ak，得[ak+1-

k(k+1)

2

]2=

k(k+1)

2

+an+1，由此可证；
（3）利用裂项法求出b_n，确定b_n最大值，即可求b_n＜log₈t恒成立时实数t的取值范围．

解答：（1）解：依题意，△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A₀为坐标原点），故有xn=

an-1+an

2

，yn=

an-an-1

2

，…（4分）
（2）证明：①当n=1时，可求得a1=2=

1×2

2

，命题成立； …（2分）
②假设当n=k时，命题成立，即有ak=

k(k+1)

2

，…（1分）
则当n=k+1时，由归纳假设及(ak-ak-1)2=ak-1+ak，得[ak+1-

k(k+1)

2

]2=

k(k+1)

2

+an+1．
即(ak+1)2-(k2+k+1)ak+1+[

k(k-1)

2

]•[

(k+1)(k+2)

2

]=0
解得ak+1=

(k+1)(k+2)

2

（ak+1=

k(k-1)

2

＜ak不合题意，舍去）
即当n=k+1时，命题成立．  …（4分）
综上所述，对所有n∈N^*，an=

n(n+1)

2

．    …（1分）
（3）解：bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

=

2

(n+1)(n+2)

+

2

(n+2)(n+3)

+…+

2

2n(2n+1)

=

2

n+1

-

2

2n+1

=

2n

2n2+3n+1

=

2

(2n+ 1 n )+3

．…（2分）
因为函数f(x)=2x+

1

x

在区间[1，+∞）上单调递增，所以当n=1时，b_n最大为

1

3

，即bn≤

1

3

．…（2分）
由题意，有

1

3

＜log8t，所以t＞2．
所以，t∈（2，+∞）． …（2分）

点评：本题考查数学归纳法，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．