Question

【题目】已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）若且，.

（i）求实数的最大值；

（ii）证明不等式：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求出导函数，再根据，由点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）（i）等价于 ，讨论时、当时两种情况，排除不合题意的的值，即可得实数的最大值，（ii）当时整理得，令，则，进而可证原不等式.

试题解析：（1）由题意且，

∴，

又，

∴在点处的切线方程为即

（2）（i）由题意知，

设，

则，

设，

则，

（1）当时，∵，∴，

∴在上单调递增，又，

∴时，，又，

∴，不符合题意.

（2）当时，设，

①若，即时，恒成立，

即在恒成立，∴在上单调递减又，

∴时，，，，

时，，，，符合题意.

②若，即时，的对称轴，

∴在上单调递增，

∴时，，

∴，

∴在上单调递增，

∴，

而，∴，不符合题意，

综上所述.

（ii）由（i）知时，，

当时整理得，

令，则，

∴，

∴，

∴，

即