Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知AO=1，CO=

3

，AC=2，故AO²+CO²=AC²，由此能够证明AO⊥平面BCD．
（2）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，EM=

1

2

AB=

2

2

，OE=

1

2

DC=1，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．

解答：（1）证明：△ABD中
∵AB=AD=

2

，O是BD中点，BD=2
∴AO⊥BD 且 AO=

AB2-BO2

=1
△BCD中，连结OC∵BC=DC=2
∴CO⊥BD 且 CO=

BC2-BO2

=

3

△AOC中 AO=1，CO=

3

，AC=2
∴AO ²+CO²=AC² 故 AO⊥CO
∴AO⊥平面BCD
（2）取AC中点F，连结OF、OE、EF
△ABC中 E、F分别为BC、AC中点
∴EF∥AB，且 EF=

1

2

AB=

2

2

△BCD中 O、E分别为BD、BC中点
∴OE∥CD 且 OE=

1

2

CD=1
∴异面直线AB与C D所成角等于∠OEF（或其补角）
又OF是Rt△AOC斜边上的中线
∴OF=

1

2

AC=1
∴等腰△OEF中 cos∠OEF=

1 2 EF

OE

=

2

4

．

点评：本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．