Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）若对，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）极大值，无极小值（2）答案不唯一，具体见解析（3）

【解析】

（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；

（2）对函数进行求导，根据实数的正负性，分类讨论判断导函数的正负性，进行判断单调性即可；

（3）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.

解：（1）.令，得.

	正	0	负
	单调增大	极大值	单调减少

所以在上单调递增，上单调递减，

所以函数的极大值为：，无极小值；

（2），

当时，，∴在单调递增，

当时，若，，∴在单调递增；

若，，∴在单调递减；

综上，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.

（3）对，恒成立，对，恒成立，令，.

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以，因此.