Question

（本小题满分13分）

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=n²[1+++…+] （n≥2，n∈N）

（1）当n≥2时，求证：=

（2）求证：（1+）（1+）…（1+）<4

 

Answer 1

【答案】

（1）利用

得到。

（2）当时，

 

验证，当时， ，综上所述，对任意，不等式都成立．

【解析】

试题分析：（1）当时， ……………………1分

所以…………………4分

故 …………………………………………………………5分

（2）当时，……6分

……8分

……10分

 ………………………11分

当时， ……………………………………………………………12分

综上所述，对任意，不等式都成立．……………………………………13分

考点：本题主要考查数列“裂项相消法”求和，“放缩法”证明不等式。

点评：中档题，涉及数列的不等式证明问题，往往需要先求和、再证明。本题（2）利用“裂项相消法”求得“数列的和”，利用放缩法，达到证明目的。易错忽视n=1的验证。