题目内容

已知
a
=(cosx，cosx-
3
sinx)，
b
=(sinx+
3
cosx，sinx)，且f（x）=
a
•
b
．
①将函数f（x）的表达式化为Asin（ωx+φ）+h的形式；
②若x∈[-
π
2
，
π
2
]，求函数f（x）的单调递增区间．
分析：①先根据向量的数量积的运算法则求出函数f（x）的解析式，然后利用二倍角公式进行化简变形，最后用辅助角公式变形即可将函数f（x）的表达式化为Asin（ωx+φ）+h的形式；
②根据正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调区间，然后与x∈[-
π
2
，
π
2
]求交集即可求出所求．
解答：解：①f(x)=
a
•
b
=cosx(sinx+
3
cosx)+(cosx-
3
sinx)sinx…（2分）?f(x)=2sinxcosx+
3
(cos2x-sin2x)=sin2x+
3
cos2x…（4分）
?f(x)=2sin(2x+
π
3
)…（6分）
②当2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
?kπ-
5π
12
≤x≤kπ+
π
12
时，函数f（x）单调递增．      …（9分）
又∵x∈[-
π
2
，
π
2
]，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[-
5π
12
，
π
12
]．…（12分）
点评：本题主要考查了向量的数量积以及二倍角公式和辅助角公式和正弦函数的单调性，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，设f(x)=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期，并写出f（x）的减区间；
（2）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的最大值及最小值．
已知已知
a
=(cosx，sinx)，
b
=(sinx，cosx)，记f(x)=
a
•
b
，要得到函数y=sin2x-cos2x的图象，只须将y=f（x）的图象（　　）
A、向右平移
π
4
个单位
B、向右平移
π
2
个单位
C、向左平移
π
4
个单位
D、向左平移
π
2
个单位
已知
a
=(cosx，-sin2x)，
b
=(6sinx+
3
cosx，
3
)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）若x∈[0，
5π
12
]，求函数f（x）的最大值和最小值，并指出最大值和最小值时相应的x的值．
已知
a
=(cosx，sinx)，
b
=(cosx+
3
sinx，
3
cosx-sinx)，f(x)=
a
•
b

（1）求f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）求f（x）的单调增区间．
（2007•深圳二模）已知
a
=(cosx+sinx，sinx)，
b
=(cosx-sinx，2cosx)，设f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-
π
4
，
π
4
]时，求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．

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