Question

（2007•深圳二模）已知

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx-sinx，2cosx)，设f(x)=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[-

π

4

，

π

4

]时，求函数f（x）的最大值，并指出此时x的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=(cosx+sinx，sinx)，

b

=(cosx-sinx，2cosx)，我们可以求出f(x)=

a

•

b

的解析式，利用除幂公式（逆用二倍角公式）及和差角公式，我们可将函数解析式化为正弦型函数的形式，进而求出函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由（I）中函数的解析式，结合正弦型函数的单调性，可得当x∈[-

π

4

，

π

4

]时函数f（x）的最大值及对应x值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx…（2分）
=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x…（4分）
=

2

(

2

2

•cos2x+

2

2

•sin2x)
=

2

sin(2x+

π

4

)…（6分）
∴f（x）的最小正周期T=π．             …（7分）
（Ⅱ）∵-

π

4

≤x≤

π

4

，
∴-

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，…（9分）
∴当2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

时，f（x）有最大值

2

．      …（12分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积，两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求示，正弦函数的定义域和值域，是向量与三角函数的综合应用，属于中档题．