Question

设椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），则|

OM

|=

 

．

Answer 1

分析：根据a²-b²=c²求出左焦点F的坐标，根据椭圆的准线公式x=-

a2

c

求出左准线方程，然后设P的坐标（x，y），根据两点间的距离公式求出P到准线方程的距离让其等于10求出x，然后再把x的值代入到椭圆方程中得到P的坐标，由

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

）得到M为PF的中点，根据中点坐标公式求出M的坐标，利用两点间的距离公式求出|

OM

|即可．

解答：解：由椭圆

x2

25

+

y2

16

=1得a=5，b=4，
根据勾股定理得c=3，则左准线为x=-

25

3

，左焦点F（-3，0），
设P（x，y），因为P到左准线的距离为10，列出

|x+ 25 3 |

12+02

=10，
解得x=

5

3

或x=-

55

3

（舍去）；
又P在椭圆上，则将x=

5

3

代入到椭圆方程中求出y=±

8 2

3

，
所以点P（

5

3

，±

8 2

3

）；
由点M满足

OM

=

1

2

（

OP

+

OF

），则得M为PF中点，
根据中点坐标公式求得M（-

2

3

，±

4 2

3

），
所以|

OM

|=

(- 2 3 )2+(± 4 2 3 )2

=2
故答案为2．

点评：本题是一道综合题，考查学生掌握椭圆的一些简单性质，会利用两点间的距离公式及中点坐标公式、点到直线的距离公式化简求值，同时也考查学生掌握向量的运用法则及向量模的求法，做题时要求学生知识面要宽，综合运用数学知识解决问题．