题目内容
设直线?与椭圆| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 16 |
分析：先看当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，l与椭圆、双曲线的交点为：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）直线方程分别椭圆和双曲线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x3+x4的表达式，进而根据
=
求得k=0或b=0，分别求得k=0时和b=0时直线方程；进而看直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可求得交点坐标，根据|
|=3|
|求得c，最后综合可得答案．
| AC |
| DB |
| AB |
| CD |
解答：解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为y=kx+b，如图所示，
l与椭圆、双曲线的交点为：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
依题意有
=
，
=3
，
由
得(16+25k2)x2-2bkx+(25b2-400)=0(1)
∴x1+x2=-
由
得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0(2)
若k=±1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1∴x3+x4=
由
=
?x3-x1=x2-x4?x1+x2=x3+x4?-
=
?bk=0?k=0或b=0
(i)当k=0时，由(1)得x1，2=±
，由(2)得x3，4=±
由
=3
?x2-x1=3(x4-x3)，即
=6
?b=±
故l的方程为y=±
（ii）当b=0时，由（1）得x1，2=±
，由(2)得x3，4=±
由由
=3
?x2-x1=3(x4-x3)即
=
?k=±
故l的方程为y=±
x
再讨论l与x轴垂直的情况．
设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得，y1，2=±
，y3，4=±
由|
|=3|
|?|y2-y1|=3|y4-y3|即
=6
?c=±
故l的方程为x=±
综上所述，
故l的方程为y=±
、y=±
x和x=±
l与椭圆、双曲线的交点为：A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）
依题意有
| AC |
| DB |
| AB |
| CD |
由
|
∴x1+x2=-
| 50bk |
| 16+25k2 |
由
|
若k=±1，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故k≠±1∴x3+x4=
| 2bk |
| 1-k2 |
由
| AC |
| DB |
| 50bk |
| 16+25k2 |
| 2bk |
| 1-k2 |
(i)当k=0时，由(1)得x1，2=±
| 5 |
| 4 |
| 16-b2 |
| b2+1 |
由
| AB |
| CD |
| 10 |
| 4 |
| 16-b2 |
| b2+1 |
| 16 |
| 13 |
故l的方程为y=±
| 16 |
| 13 |
（ii）当b=0时，由（1）得x1，2=±
| 20 | ||
|
| 1 | ||
|
由由
| AB |
| CD |
| 40 | ||
|
| 6 | ||
|
| 16 |
| 25 |
故l的方程为y=±
| 16 |
| 25 |
再讨论l与x轴垂直的情况．
设直线l的方程为x=c，分别代入椭圆和双曲线方程可解得，y1，2=±
| 4 |
| 5 |
| 25-c2 |
| c2-1 |
| AB |
| CD |
| 8 |
| 5 |
| 25-c2 |
| c2-1 |
25
| ||
| 241 |
25
| ||
| 241 |
故l的方程为y=±
| 16 |
| 13 |
| 16 |
| 25 |
25
| ||
| 241 |
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．当直线与圆锥曲线相交时，应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．
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