Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，|

PA

|+|

PB

|=k，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点；
③方程2x²-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点A（5，0）及定直线l：x=

16

5

的距离之比为

5

4

的点的轨迹方程为

x2

16

-

y2

9

=1．
其中真命题的序号为

 

．

Answer 1

分析：①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆；②正确，双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0）；③方程2x²-5x+2=0的两根为

1

2

或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线．

解答：解：①根据椭圆的定义，当k＞|AB|时是椭圆，∴①不正确；
②正确，双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点，焦点在x轴上，焦点坐标为（±

34

，0）；
③方程2x²-5x+2=0的两根为

1

2

或2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴③正确
④由双曲线的第二定义可知：点的轨迹是双曲线，且a=4，b=3，c=5．
故答案为：②③④．

点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，同时考查了椭圆、双曲线与抛物线的性质，考查的知识点较多，属于中档题．