Question

【题目】在正四面体P﹣ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且 ，设异面直线 NM 与 AC 所成角为α，当 时，则cosα的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[ , ]
【解析】解：设P到平面ABC的射影为点O，取BC中点D，

以O为原点，在平面ABC中，以过O作DB的平行线为x轴，

以OD为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设正四面体P﹣ABC的棱长为4 ，

则A（0，﹣4，0），B（2 ，2，0），C（﹣2 ，2，2 ），P（0，0，4 ），M（﹣ ，1，2 ），

由 ，得N（ ），

∴ =（﹣ ，5﹣6λ，2 ）， =（﹣2 ，6，0），

∵异面直线 NM 与 AC 所成角为α， ，

∴cosα= = ，设3﹣2λ=t，则 ，

∴cosα= = ，

∵ ，

∴ ．

∴cosα的取值范围是[ ， ]．

所以答案是：[ ， ]．

【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系．