Question

设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4 ( 

2

-1 )，
（1）求此椭圆方程，并求出准线方程；
（2）若P在左准线l上运动，求tan∠F₁PF₂的最大值．

Answer 1

分析：（1）由 b=c，a-c=4（

2

-1），及a²=b²+c²  解出 a、b、c 的值，即得椭圆的标准方程．
（2）设P（-8，t），设直线PF₁的斜率k₁，直线PF₂的斜率k₂，利用到角公式进行计算，由此能导出tan∠F₁PF₂的最大值．

解答：解：（1）设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
如图，
B₁F₁⊥B₂F₁，
且|A1F1| =4 ( 

2

-1 )
∴

a-c=4 (  2 -1 ) b=c a2=b2+c2

（5分）
∴a²=32，b²=16（7分）
∴椭圆方程为

x2

32

+

y2

16

=1，准线方程为x=±8（9分）
（2）设P（-8，t），∵F₁（-4，0），F₂（4，0）
则tan∠F1PF2= |

8t

48+t2

| = |

8

48 t +t

| ≤

8

2 48

=

4

4 3

=

3

3

当P（-8，±4

3

）最大值为

3

3

（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系，注意利用焦点到椭圆的最短距离为a-c．解题时要认真审题，仔细求解．