Question

已知向量

a

=(1，2)，

b

=(-2，1)，

x

=+(k2+1)

b

，

y

=-

1

k

a

+

1

t

b

，k，t为实数．
（Ⅰ）当k=-2时，求使

x

∥

y

成立的实数t值；
（Ⅱ）若

x

⊥

y

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：先求出

x

，

y

，（Ⅰ）利用向量共线的条件建立方程，可求实数t值；
（Ⅱ）利用向量垂直的条件建立方程，可得k的函数，进而可求k的取值范围．

解答：解：∵

a

=(1，2)，

b

=(-2，1)
∴

x

=

a

+(t2+1)

b

=(-2t2-1，t2+3)，

y

=-

1

k

a

+

1

t

b

=（-

1

k

-

2

t

，-

2

k

+

1

t

）．------------------（2分）
（Ⅰ）当

x

∥

y

时，(-2t2-1)(-

2

k

+

1

t

)-(t2+3)(-

1

k

-

2

t

)=0．------------（4分）
化简，得

t2+1

k

+

1

t

=0，当k=-2时，即t³+t-2=0．
∴t=1，使

x

∥

y

成立．----------------------------（6分）
（Ⅱ）若

x

⊥

y

，则

x

•

y

=0，
即(-2t2-1)(-

1

k

-

2

t

)+(-

2

k

+

1

t

)(t2+3)=0．---------------------（8分）
整理，得k=

t

t2+1

．
t≠0时，k=

1

t + 1 t

，∴-

1

2

≤k＜0或0＜k≤

1

2

t=0时，k=

t

t2+1

=0
∴-

1

2

≤k≤

1

2

．--------------------------（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查向量共线、垂直的条件，考查基本不等式的运用，属于中档题．