Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，E，F，G为 AB，AA₁，A₁C₁的中点，则B₁F 与面GEF成角的正弦值（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：利用等体积，计算B₁到平面EFG距离，再利用正弦函数，可求B₁F 与面GEF成角的正弦值．
解答：解：设正三棱柱的，取A₁B₁中点M，连接EM，则EM∥AA₁，EM⊥平面ABC，连接GM
∵G为A₁C₁的中点，棱长为
∴GM=B₁C₁=1，A₁G═A₁F=1，FG=，FE=，GE=
在平面EFG上作FN⊥GE，则∵△GFE是等腰三角形，∴FN=，
∴S_△GEF=GE×FN=，
S_△EFB1=S_{正方形ABB1A1}-S_△A1B1F-S_△BB1E-S_△AFE=，
作GH⊥A₁B₁，GH=，
∴V_{三棱锥G-FEB1}=S_△EFB1×GH=，
设B₁到平面EFG距离为h，则V_{三棱锥B1-EFG}=S_△GEF=，
∵V_{三棱锥G-FEB1}=V_{三棱锥B1-EFG}，
∴，
∴h=
设B₁F与平面GEF成角为θ，
∵B₁F=
∴sinθ==
∴B₁F与面GEF所成的角的正弦值为．
故选A．
点评：本题考查线面角，考查三棱锥的体积计算，考查转化思想，解题的关键是利用等体积计算点到面的距离．