Question

F为椭圆

x2

5

+y2=1的右焦点，第一象限内的点M在椭圆上，若MF⊥x轴，直线MN与圆x²+y²=1相切于第四象限内的点N，则|NF|等于（　　）

• A．

  21

  3

• B．

  4

  5

• C．

  21

  4

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：根据椭圆的性质，可求出F点坐标，进而结合已知中MF⊥x轴，求出M点坐标，根据直线MN与圆相切求出点N的坐标后，代入两点之间距离公式，可得答案．

解答：解：∵F为椭圆

x2

5

+y2=1的右焦点，
∴F点的坐标为（2，0）
∵MF⊥x轴，M在椭圆上且在第一象限
∴M点的坐标为（2，

5

5

）
设直线MN的斜率为k（k＞0）
则直线MN的方程为y-

5

5

=k（x-2）
即kx-y-2k+

5

5

=0
∵直线MN与圆x²+y²=1相切
∴原点（圆心）到直线MN的距离等于半径1，
即

|-2k+ 5 5 |

1+k2

=1
解得k=

2 5

5

，或k=-

2 5

15

（舍去）
∴直线MN的方程为

2 5

5

x-y-

3 5

5

=0…①
联立圆方程x²+y²=1可得
N点坐标为（

2

3

，

5

3

）
∴|NF|=

(2- 2 3 )2+( 5 3 )2

=

21

3

故选A

点评：本题考查的知识点是椭圆的简单性质，直线与圆的位置关系，两点之间的距离，其中求出N点坐标是解答的关键．