Question

【题目】已知函数．

（1）判断f（x）的奇偶性，说明理由；

（2）当x＞0时，判断f（x）的单调性并加以证明；

（3）若f（2t）-mf（t）＞0对于t∈（0，+∞）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.

【解析】

(1)利用与的关系,结合定义域判断奇偶性,即可得出答案.(2)换元法,转化成对勾函数,结合对勾函数性质,即可.(3)代入的解析式,建立关于s的新函数，结合该函数单调性，计算最值，即可得出答案。

（1）∵函数f（x）=3x+，定义域R，关于原点对称，

且对一切x∈R，都有f（-x）=3-x+=+3x=f（x）成立，

∴f（x）是偶函数．

综上所述：f（x）是偶函数．

（2）函数f（x）=3x+在（0，+∞）上是增函数，

令3x=t，当x＞0时，t＞30=1，则y=g(t)=t+，

设1<t1＜t2，

g（t1）-g（t2）=（t1+）-（t2+）=（t1t2-1），

又由a∈（0，）且1<t1＜t2，

则＜0，t1t2-1>0，

则g（t1）-g（t2）<0，

函数y=t+在t∈（1，+∞）上是增函数，

即函数f（x）在（0，+∞）上为增函数．

（3）∵函数f（x）=3x+，

∴f（2t）-mf（t）＞0对于t∈（0，+∞）恒成立，

等价于：m（3t+）＜32t+对于t∈（0，+∞）恒成立，

即m（3t+）＜（3t+）2-2对于t∈（0，+∞）恒成立，

∵3t+＞0，∴m＜3t+-对于t∈（0，+∞）恒成立，

令3t+=s，∵t∈（0，+∞），

∴由（2）知：s＞2，则m＜s-对于s∈（2，+∞）恒成立，

记y=s-，在s∈（2，+∞）上是增函数，

∴y＞2-=1，

∴m≤1

即m的取值范围为（-∞，1]，

综上所述：m的取值范围是（-∞，1]．