Question

【题目】如图，四棱锥的底面为菱形，，侧面是边长为的正三角形，侧面底面．

（）设的中点为，求证：平面．

（）求斜线与平面所成角的正弦值．

（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值．

Answer 1

【答案】（）见解析；（）；（）．

【解析】试题分析：（I）由Q为侧面正三角形PAB的边AB的中点，可得PQ⊥AB，再利用面面垂直的性质定理即可证明线面垂直；（II）通过结论空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出；（III）利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角，进而解出．

解析：

（）证明：∵侧面是正三角形，中点为，

∴，

∵侧面底面，

侧面底面，

侧面，

∴平面．

（）连接，设点，

以为原点，，过点且垂直于平面的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，

，，，，，，

平面的法向量，

设斜线与平面所成角为，

则．

（）设，

，，

，

设平面的法向量为，

∴，，

，

取，，

又∵平面的法向量，

∴，

∴，

解出（舍去）或，

此时．