Question

【题目】如图，已知五面体，其中内接于圆，是圆的直径，四边形为平行四边形，且平面．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，且二面角所成角的余弦值为，试求该几何体的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8

【解析】试题分析：

(1)由圆的性质可得，由线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判断定理有平面，故平面平面 .

（2）设，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，结合(1)的结论可得平面的一个法向量是，结合方向向量可得平面ABD的一个法向量为，利用空间向量的结论解方程可得，则结合体的体积.

试题解析：

(1)是圆的直径， ，

又平面又平面，且，

平面，

又平面，平面平面 .

（2）设，以所在直线分别为轴，轴，轴，如图所示，

则，，，，

由（1）可得，平面，

平面的一个法向量是，

设为平面的一个法向量，

由条件得，，，

即 不妨令，

则，，，

，，

得 ，

.