Question

20．已知一切x，y∈R，不等式x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$-a≥0恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，6]．

Answer 1

分析 将x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$配方得（x-y）²+（$\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}$）²-2，进而可得x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$的最小值为-6，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$=（x-y）²+（$\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}$）²-2，
令z=（x-y）²+（$\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}$）²，
则z表示A（x，-$\frac{9}{x}$）点与B（y，$\sqrt{2-{y}^{2}}$）两点的距离d的平方，
由A为双曲线y=-$\frac{9}{x}$上一点，B为半圆x²+y²=2（y≥0）上一点，
在同一坐标系中画出两曲线的图象，如下图所示：

可以看出两点间距离的最小值为2$\sqrt{2}$，
即距离的平方为8，
故z≥8，
∴x²+$\frac{81}{{x}^{2}}$-2xy+$\frac{18}{x}$$\sqrt{2-{y}^{2}}$=（x-y）²+（$\frac{9}{x}+\sqrt{2-{y}^{2}}$）²-2≥6，
∴a≤6，所以实数a的取值范围是（-∞，6]，
故答案为：（-∞，6]

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，将其转化为最值问题是解答的关键．