题目内容

已知向量 $数学公式$ ， $数学公式$ ，设函数 $数学公式$ • $数学公式$ ，若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称．
（Ⅰ）求函数g（x）在区间[- $数学公式$ ]上的最大值，并求出此时x的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）-g（A）= $数学公式$ ，b+c=7，△ABC的面积为2 $数学公式$ ，求边a的长．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ -sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称，
∴g（x）=- $\text{[math]}$ -sin（2x- $\text{[math]}$ ），
∵x∈[- $\text{[math]}$ ]，∴2x- $\text{[math]}$ ∈[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴sin（2x- $\text{[math]}$ ）∈[-1， $\text{[math]}$ ]，
∴g（x）在区间[- $\text{[math]}$ ]上的最大值为 $\text{[math]}$ ，此时2x- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，即x=- $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）∵f（A）-g（A）= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ -sin（2A+ $\text{[math]}$ ））+ $\text{[math]}$ +sin（2A- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，∴cos2A=- $\text{[math]}$ ，
∵A为锐角，∴A= $\text{[math]}$
∵△ABC的面积为2 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴bc=8
∵b+c=7，
∴ $\text{[math]}$ =（b+c）²-3bc=49-21=28
∴a=2 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合辅助角公式化简函数，再利用函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称，确定g（x）的解析式，从而即可得到结论；
（Ⅱ）先求A，再利用△ABC的面积，求出bc，结合余弦定理，即可求边a的长．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简与三角函数的性质，考查余弦定理的运用，正确化简函数是关键．