题目内容

已知向量,设函数,若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于坐标原点对称.
(Ⅰ)求函数g(x)在区间[-]上的最大值,并求出此时x的值;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,若f(A)-g(A)=,b+c=7,△ABC的面积为2,求边a的长.
【答案】分析:(Ⅰ)利用向量的数量积公式,结合辅助角公式化简函数,再利用函数g(x)的图象与f(x)的图象关于坐标原点对称,确定g(x)的解析式,从而即可得到结论;
(Ⅱ)先求A,再利用△ABC的面积,求出bc,结合余弦定理,即可求边a的长.
解答:解:(Ⅰ)∵
∴函数==-sin(2x+),
∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于坐标原点对称,
∴g(x)=--sin(2x-),
∵x∈[-],∴2x-∈[-],
∴sin(2x-)∈[-1,],
∴g(x)在区间[-]上的最大值为,此时2x-=-,即x=-
(Ⅱ)∵f(A)-g(A)=,∴-sin(2A+))++sin(2A-)=,∴cos2A=-
∵A为锐角,∴A=
∵△ABC的面积为2,∴,∴bc=8
∵b+c=7,
=(b+c)2-3bc=49-21=28
∴a=2
点评:本题考查向量知识的运用,考查三角函数的化简与三角函数的性质,考查余弦定理的运用,正确化简函数是关键.
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